Introduction aux méthodes particulaires
Résumé
Le problème du filtrage non linéaire consiste à
estimer la loi conditionnelle d'un processu état indirectement
lié à un processus observation dont on connaît
une réalisation. Le filtre de Kalman permet de résoudre
ce problème de façon exacte et rapide lorsque les
dynamiques de l'état et de l'observation sont linéaires
et gaussiennes. En dehors de ce cas, d'autres approches telles que
les méthodes particulaires ont été
développées.
Fondées sur le principe de Monte Carlo, les méthodes
particulaires proposent une approximation faible de la loi
conditionnelle recherchée en propageant un système
de particules dans le temps.
Dans cet exposé, on présentera brièvement le
principe de base des méthodes particulaires pour le filtrage.
Au-delà du filtrage, on exposera ensuite les applications
potentielles de ces méthodes pour EDF, notamment pour le calage
des paramètres des modèles de prix et pour les
problèmes de commande optimale en gestion de production.
Ces applications seront développées dans les
exposés suivants.
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Méthodes de Monte Carlo avec interaction pour l'inférence statistique des modèles de Markov cachés
Résumé
On présentera rapidement les méthodes de Monte Carlo
avec interaction, ou méthodes particulaires, qui permettent
d'approcher numériquement le filtre optimal à l'aide
de la distribution empirique pondérée associée
à un système de particules en interaction.
On montrera comment obtenir, dans un modèle dépendant
d'un paramètre inconnu qu'il s'agit d'estimer, une
approximation particulaire globale de la fonction de vraisemblance,
mettant en oeuvre
un unique système de particules en interaction, correspondant
à une valeur donnée du paramètre,
et des poids dépendants d'une valeur arbitraire du
paramètre.
Sous des hypothèses de régularité sur le
modèle, cette approximation est dérivable par rapport au
paramètre, et la dérivée peut s'interpréter
comme une approximation particulaire du filtre dérivé.
Cette information est ensuite exploitée pour calculer,
de manière numérique approchée, l'estimateur
du maximum de vraisemblance.
Cet exposé repose sur un travail en commun avec Natacha Caylus,
Arnaud Guyader et Nadia Oudjane.
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Algorithmes de filtrage particulaire hybrides
Résumé Nous présentons divers algorithmes combinant le filtrage particulaire et le filtre de Kalman. Le plus connu est la méthode de Rao-Blackwellisation qui traite le cas où le modèle et / ou le modèle de mesure sont linéaires conditionnellement à une partie du vecteur d'état à estimer. Nous présentons un nouveau filtre hybride qui généralise le précédent en utilisant localement des filtres de Kalman. L'utilisation de filtres de Kalman réduit les fluctuations Monte Carlo pouvant conduire à des divergences. Nous présentons aussi quelques outils, comme la borne de Cramér-Rao, qui permettent de prévoir le comportement et les performances d'un filtre particulaire quelconque.
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Les méthodes particulaires en estimation non linéaire
Résumé
Nous introduirons dans cet exposé une méthodologie
particulaire moderne pour l'estimation et l'optimisation globale
non linéaire. Très brièvement, cette nouvelle
classe d'algorithmes stochastiques est fondée sur l'exploration
d'un espace d'états par une population d'individus.
Ces derniers évoluent selon des dynamiques naturelles
d'exploration locale. Ils interagissent de temps à autre,
en échangeant les informations qualitatives des régions
qu'ils ont visitées. Les individus dans les zones de recherche
arides ont alors tendance à se déplacer vers des
régions plus attractives.
Dans la seconde partie de cet exposé, nous soulignerons les
fondements mathématiques de ces modèles d'exploration
stochastique et adaptative. Nous proposerons notamment une
interprétation naturelle en terme de processus de naissance
et mort. Cette approche met ainsi en évidence les notions
essentielles de lignes ancestrales et d'arbres
généalogiques d'exploration. Nous illustrerons ces
résultats dans l'étude du filtrage et de l'estimation
trajectorielle non linéaire et non gaussienne, ainsi qu'en
contrôle optimal, et plus particulièrement en
régulation de processus non linéaires.
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Commande optimale stochastique : des arbres de scénarios aux méthodes particulaires
Résumé En optimisation stochastique, l'évaluation numérique de l'espérance mathématique de la fonction coût est un point de passage obligé et le principe de la méthode de Monte Carlo est le plus souvent mis à contribution pour cette tâche (sous diverses formes, y compris dans sa version gradient stochastique). En commande optimale stochastique, une autre difficulté apparaît : c'est celle de la prise en compte de la structure d'information du problème (au minimum la contrainte de causalité). Dans l'approche classique de la programmation dynamique, cette contrainte est directement prise en compte mais on s'éloigne alors du point de vue Monte Carlo et du point de vue des méthodes variationnelles. Les approches basées sur les arbres de scénarios sont une tentative de retour vers ces points de vue tout en essayant de tenir compte, d'une façon plus ou moins explicite, de structures d'information simples comme la causalité. On montrera qu'il est important de bien séparer, dans l'analyse de ces méthodes d'approximation, les deux aspects : évaluation d'une espérance d'une part, discrétisation de contraintes informationnelles d'autre part. On expliquera ensuite pourquoi un autre point de vue que celui des arbres de scénarios s'avère nécessaire et on mentionnera les premières idées mises en oeuvre dans cette direction qui peut se rattacher à la famille des méthodes particulaires plutôt développées dans d'autres contextes comme celui du filtrage.
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