Molecular simulation: Algorithmic and Mathematical aspects
December 2004, 1-3
More information on the Workshop
Prestissimo 2003.
INRIA: Projet Ipso
La communauté qui s'intéresse aux modèles et développe les algorithmes pour la dynamique moléculaire est constituée à une énorme majorité de physico/chimistes, qui n'ont eu jusqu'ici que peu d'interaction avec l'environnement mathématiques appliquées. Les algorithmes utilisés sont souvent performants, appliqués à des situations précises et utilisent des techniques mathématiques classiques. Il est cependant clair que des progrès décisifs peuvent potentiellement être apportés par des idées nouvelles, venues de la communauté mathématiques appliquées. Ces progrès sont indispensables si on veut gagner les ordres de grandeur nécessaires pour amener les simulations numériques en ce domaine à la hauteur des exigences liées aux applications. Le problème essentiel est la disproportion entre la taille (nombre d'atomes/temps physique de simulation) des systèmes actuellement traités et ceux qu'il s'agirait de traiter. Symboliquement, disons que les meilleures équipes (les plus riches...) savent traiter quelques millions d'atomes sur une durée totale de la microseconde, et qu'il en faudrait un million de fois plus sur la seconde, pour par exemple aborder sereinement la simulation des systèmes biologiques.
Quelles sont les pistes que nous envisageons ?
Fondamentalement, le problème est celui d'une dynamique hamiltonienne, avec un Hamiltonien discrétisé, voire mal connu ou à calculer ``en ligne''. Il s'agit de simuler cette dynamique sur un temps très long, ce qui peut demander un nombre phénoménal d'évaluations des forces. Le calcul de cette trajectoire a deux objectifs:
- soit on veut calculer l'évolution du système à partir d'un point de départ précis (un certain état bien déterminé, dont on veut connaître ce qu'il devient en temps long)
- soit cette dynamique n'est qu'un moyen d'échantillonner l'espace des phases, dans l'objectif, dans un second temps, de calculer une moyenne statistique d'un certain opérateur (une observable) en se basant sur l'hypothèse ergodique (ce second cas est une application majeure de la dynamique moléculaire).
Les deux objectifs soulèvent des questions bien différentes (par exemple parce que, dans le second cas, la donnée initiale est d'une certaine manière un peu indifférente). Signalons notamment les questions suivantes :
a) l'analyse de la précision d'un schéma symplectique en temps long repose sur l'analyse rétrograde, qui concerne les opérateurs analytiques. Dans notre cas, l'opérateur hamiltonien est discrétisé (au moins...), donc il n'est jamais analytique (penser à un élément fini, par exemple). Que subsiste-t-il des résultats canoniques dans ce cadre singulier ? La littérature est vide sur le sujet.
b) une fois ceci résolu, peut-on en déduire des stratégies numériques rigoureusement fondées pour des algorithmes multipas en temps / espace : on pense par exemple au cas de l'intégration d'un système dynamique pour un ensemble de particules qui interagissent à longue portée: les interactions longue portée peuvent être remises à jour plus ``rarement'' (couplage de méthodes type Fast Multipoles avec des méthodes multipas en temps : pas d'analyse numérique sérieuse à ce jour malgré des centaines d'implémentations pratiques)
c) y a-t-il un autre moyen pour calculer une moyenne que de calculer une longue trajectoire ? on peut penser à plusieurs bouts de trajectoires,...
d) y a-t-il une pertinence à utiliser des méthodes numériques d'intégration des EDO conçues et optimisées pour calculer précisément des trajectoires dans un cadre où ces trajectoires ne servent qu'à calculer des moyennes ?
e) comment adapter à ce cas où l'on veut calculer des
moyennes des schémas de discrétisation qui permettent une
approche parallèle en temps et qui ont été
initialement
construits pour la simulation d'une trajectoire donnée ?