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Filtrage de Kalman et modèles de Markov cachés

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Présentation :

Ce cours propose une introduction au filtrage optimal en temps discret, c'est-à-dire au problème de l'estimation de l'état d'un système à partir d'un modèle a priori et de mesures bruitées. La notion de modèle a priori est illustrée par des exemples issus du domaine de la navigation, de la localisation et de la poursuite. Deux classes de modèles sont considérées, pour lesquelles il est possible de donner une solution exacte, calculable de façon récursive : (i) les systèmes linéaires gaussiens, avec le filtre et le lisseur de Kalman (et les extensions aux systèmes non linéaires : filtre de Kalman étendu et filtre de Kalman unscented), et (ii) les chaînes de Markov à espace d'état fini, avec les équations forward / backward de Baum, l'algorithme de Viterbi, et les formules de re-estimation de Baum-Welch (pour l'identification des paramètres de la chaîne de Markov par l'algorithme EM). La mise en œuvre de ces différents algorithmes fait l'objet de deux séances de TP en MATLAB.

1. Introduction (estimation)
2. Systèmes linéaires gaussiens
3. Filtrage et lissage de Kalman
4. Extensions aux systèmes non linéaires
5. Systèmes non linéaires non gaussiens
6. Filtrage bayésien, et approximation particulaire
7. Introduction (classification)
8. Modèles de Markov cachés
9. Equations forward / backward de Baum
10. Algorithme de Viterbi
11. Formules de re-estimation de Baum-Welch
1. Rappels de probabilités

• Cours 18/19 : polycopié (version du 3 octobre 2018)
  • première partie : filtrage de Kalman
  • transition : démos
  • deuxième partie : modèles de Markov cachés
• Travaux pratiques 18/19 :
  1. Filtre de Kalman : énoncé, données (archive .zip), complément (calcul et tracé d'une ellipse de confiance)
     
  2. Modèles de Markov cachés : énoncé, données (archive .zip)

• Examen 18/19 : énoncé, corrigé
  Méthode spectrale pour l'identification des modèles de Markov cachés à observations symboliques.

Références bibliographiques :

ouvrages de référence

• Andrew H. Jazwinski, Stochastic Processes and Filtering Theory, Dover Publications, Mineola NY, 2008 (publié à l'origine par Academic Press, New York, 1970).
• Brian D. O. Anderson and John B. Moore, Optimal Filtering, Dover Publications, Mineola NY, 2005 (publié à l'origine par Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1979).
• Olivier Cappé, Éric Moulines and Tobias Ryden, Inference in Hidden Markov Models, Springer Series in Statistics, Springer, New York, 2005.
• James Durbin and Siem Jan Koopman, Time Series Analysis by State Space Methods, (2nd edition), Oxford Statistical Science Series, Oxford University Press, Oxford, 2012.
• Robert H. Shumway and David S. Stoffer, Time Series Analysis and its Applications (with R examples) (4th edition), Springer Texts in Statistics, Springer, Cham, 2017.

Archives :

• Examen 17/18 : énoncé, corrigé
  Expressions équivalentes pour le lisseur de Kalman.
• Examen 16/17 :
  Équations pour le lisseur de Kalman à retard fixe.
• Examen 15/16 : énoncé
  Formules de ré-estimation pour les paramètres d'un système linéaire gaussien.
• Examen 14/15 : énoncé, corrigé
  Équations de Rauch-Tung-Striebel pour le lisseur de Kalman, vu comme estimateur du maximum a posteriori.
• Examen 13/14 : énoncé, corrigé
  Détection de changement et estimation de l'instant de changement dans les modèles de Markov cachés.
  Équations de Rauch-Tung-Striebel pour le lisseur de Kalman (preuve géométrique simple due à Ansley et Kohn).
• Examen 12/13 : énoncé, corrigé
  Équations de Fraser-Potter pour le lisseur de Kalman.
• Examen 11/12 : énoncé, corrigé partiel
  Équation du filtre de Kalman pour les systèmes conditionnellement linéaires gaussiens.
  Formules de re-estimation pour les moyennes et les matrices de covariance des observations dans un modèle de Markov caché à observations conditionnellement gaussiennes.
• Examen 10/11 : énoncé
  Traitement séquentiel des observations dans le filtre de Kalman.
  Estimateur risk-sensitive pour les modèles gaussiens.
• Examen 09/10 : énoncé, corrigé partiel
  Filtre de Kalman pour les systèmes linéaires gaussiens avec bruit d'observation représenté par un modèle ARMA.
  Équation forward de Baum pour les modèles de Markov cachés avec observations conditionnellement markoviennes.
• Examen 08/09 : énoncé, corrigé
  Échange d'information entre estimateurs.
  Filtres sous-optimaux basés sur une approximation gaussienne.

• Examen 07/08 : énoncé, corrigé
  Équations de Bryson-Frazier pour le lisseur de Kalman.
• Examen 06/07 : énoncé, corrigé partiel
  Estimation bayésienne variationnelle.
• Examen 05/06 : énoncé, corrigé
  Détection bayésienne dans un bruit blanc gaussien.
  Estimateur du maximum de vraisemblance pour le biais de modèle dans un système linéaire gaussien.
• Examen 04/05 : énoncé, corrigé
  Dérivation du filtre de Kalman comme cas particulier du filtre bayésien optimal.

• Examen 03/04 : énoncé, corrigé
  Équation du filtre bayésien optimal pour une classe de systèmes conditionnellement linéaires gaussiens.
• Examen 02/03 : énoncé, corrigé
  Flot de Feynman-Kac, équation du filtre bayésien optimal et espérance d'une fonctionnelle additive pour un modèle de Markov caché général.
• Examen 01/02 : énoncé, corrigé
  Espérance conditionnelle d'une fonctionnelle additive dans un système linéaire gaussien.
• Examen 00/01 : énoncé, corrigé
  Équation du filtre bayésien optimal pour une classe de systèmes non-linéaires avec bruit additif non gaussien, et analogie avec les équations de Baum forward pour un modèle de Markov caché à observations numériques.
• Examen 99/00 : énoncé, corrigé
  Espérance conditionnelle d'une fonctionnelle exponentielle intégrale dans un modèle de Markov caché à observations symboliques.
• Examen 98/99 : énoncé, corrigé
  Estimation conjointe de l'état et du mode dans un système linéaire à paramètre markovien.
• Examen 97/98 : énoncé, corrigé
  Estimation de la position d'un récepteur GPS mobile.
  Détection de changement dans les probabilités de transition d'une chaîne de Markov cachée à observations numériques.
• Examen 96/97 : énoncé, corrigé
  Formules de re-estimation pour les moyennes des observations dans un modèle de Markov caché à observations conditionnellement gaussiennes.
  Estimateur du maximum a posteriori et filtre de Kalman pour un système linéaire gaussien.
• Examen 95/96 : énoncé, corrigé
  Espérance conditionnelle du nombre de passages dans un état, du nombre de transitions entre deux états, pour un modèle de Markov caché à observations numériques.
  Équations de Rauch-Tung-Striebel pour le lisseur de Kalman.

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