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Introduction aux équations différentielles stochastiques

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Objectifs :

Programmation détaillée :

1. Introduction aux processus stochastiques : distributions fini-dimensionnelles, théorème d'extension de Kolmogorov, critère de continuité de Kolmogorov
   Mouvement brownien : continuité, variation non-bornée, variation quadratique
   Martingales continues : inégalité maximale de Doob, théorème d'arrêt
2. Intégrale stochastique, formule d'Itô
3. Équations différentielles stochastiques (EDS), solution forte « trajectorielle », solution faible « en loi »
   Processus de diffusion comme processus de Markov
   Lien avec les équations aux dérivées partielles (EDP)
   
4. Exemples et applications
5. Schémas numériques, approximation forte vs. approximation faible, couplage avec les méthodes de Monte Carlo (MLMC, pour multilevel Monte Carlo), simulation exacte

• Support de cours 18/19 :
  • Mouvement brownien et martingales continues (CM) : planches
  • Intégrale stochastique et formule d'Itô (CM) : planches
  • Équations différentielles stochastiques (CM) : planches
  • Applications (lien avec les équations aux dérivées partielles, approximation diffusion) (CM) : planches
  • Schémas numériques (CM) : planches
• Travaux pratiques et/ou dirigés 18/19 :
  • Mouvement brownien et martingales continues (TD) : énoncé, corrigé
  • Simulation récursive du mouvement brownien (TP MATLAB) : énoncé
  • Quelques applications de la formule d'Itô (TD) : énoncé, corrigé partiel
  • Équations différentielles stochastiques et processus de diffusion (TD) : énoncé, corrigé partiel
  • Simulation numérique d'équations différentielles stochastiques (TP MATLAB) : énoncé

• Examen 18/19 : énoncé, corrigé
  Intégrale stochastique en temps intrinsèque = mouvement brownien. Application à l'estimation séquentielle du maximum de vraisemblance.

Références bibliographiques :

ouvrages de référence

• Francis Comets et Thierry Meyre, Calcul stochastique et modèles de diffusion, Dunod, Paris, 2006.
• Jean-François Le Gall, Mouvement brownien, martingales et calcul stochastique, Mathématiques et Applications, Springer, Berlin, 2013.
• Emmanuel Gobet, Méthodes de Monte-Carlo et processus stochastiques : du linéaire au non-linéaire, Éditions de l'École Polytechnique, Palaiseau, 2013 [blog].
• Ioannis Karatzas and Steven E. Shreve, Brownian motion and stochastic calculus, Graduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 1988.
• Leo Breiman, Probability, Classics in Applied Mathematics, SIAM, Philadelphia, 1992 (publié à l'origine par Addison-Wesley, Reading MA, 1968).
• Eugene Wong and Bruce Hajek, Stochastic processes in engineering systems, Springer Texts in Electrical Engineering, Springer, New York, 1985 (précédente édition : Eugene Wong, Stochastic processes in information and dynamical systems, McGraw-Hill Series in Systems Science, McGraw-Hill, New York, 1971).
• Avner V. Friedman, Stochastic differential equations and applications, Dover Publications, Mineola NY, 2006 (publié à l'origine en deux volumes par Academic Press, New York, 1975 et 1976).

• Peter E. Kloeden, Eckhard Platen and Henri Schurz, Numerical solution of SDE through computer experiments, Universitext, Springer, Berlin, 1994.

• Damien Lamberton et Bernard Lapeyre, Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance (3ème édition), Éditions Ellipses, Paris, 2012.
• Tomasz Rolski, Hanspeter Schmidli, Volker Schmidt and Jozef L. Teugels, Stochastic processes for insurance and finance, Wiley Series in Probability and Statistics, John Wiley & Sons, Hoboken NJ, 1999.
• Sylvie Méléard, Modèles aléatoires en écologie et évolution, Mathématiques & Applications, Springer, Berlin, 2016.
• Wai-Yuan Tan, Stochastic models with applications to genetics, cancers, AIDS and other biomedical systems, Series on Concrete and Applicable Mathematics, World Scientific, Singapore, 2002.

notes de cours téléchargeables (format PDF)

• Jean-Christophe Breton, Processus stochastiques, M2 mathématiques, université de Rennes 1
• —, Calcul stochastique, M2 mathématiques, université de Rennes 1
• Benjamin Jourdain, Méthodes de Monte Carlo et processus stochastiques, 3ème année ENPC et M2 mathématiques et applications, université de Marne-la-Vallée

articles téléchargeables (format PDF) : méthodologie

articles téléchargeables (format PDF) : applications

Archives (sujets d'examen) :

• Examen 17/18 : énoncé, corrigé
  Pont brownien : loi du maximum et EDS.
• Examen 16/17 : énoncé, corrigé
  Fonction caractéristique de l'aire de Lévy stochastique.

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